Одз квадратного уравнения. Область допустимых значений: теория и практика. Решение квадратного уравнения с тангенсом

Научный руководитель:

1. Введение 3

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа.

Равносильность переходов 10-13

7. ОДЗ в ЕГЭ 14-15

8. Заключение 16

9. Литература 17

1. Введение

Уравнения и неравенства, в которых нужно находить область допустимых значений, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому мои сверстники часто делают ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об области допустимых значений. Это и определило проблему данной работы.

В настоящей работе предполагается исследовать явление существования области допустимых значений при решении уравнений и неравенств разных типов; проанализировать данную ситуацию, сделать логически корректные выводы в примерах, где нужно учитывать область допустимых значений.

Задачи:

Опираясь на имеющийся опыт и теоретическую базу, собрать основные сведения об области допустимых значений и её использовании в школьной практике; Проанализировать решения разнообразных типов уравнений и неравенств (дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических, содержащих обратные тригонометрические функции); Проверить ранее полученные при решении различных уравнений и неравенств результаты, убедиться в надёжности способов и методов их решения; Определить «место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств; Применить полученные материалы исследования в ситуации, которая отличается от стандартной, и использовать их при подготовке к ЕГЭ.

При решении этих задач использованы следующие методы исследования : анализ, статистический анализ, дедукция, классификация, прогнозирование.

Исследование начато с повторения известных функций, изучаемых в школьной программе. Область определения многих из них имеет ограничения.

Область допустимых значений встречается при решении: дробно-рациональных уравнений и неравенств; иррациональных уравнений и неравенств; логарифмических уравнений и неравенств; уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), выделили решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Изучен анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Практическое значение работы заключается в том, что ее содержание, оценки и выводы могут быть использованы в преподавании математики в школе, при подготовке к итоговой аттестации школьников 9 и 11 классов.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него:

у есть функция переменной х (на отрезке https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. Возведя обе части уравнения в квадрат, мы избавимся от иррациональности. Но обратим внимание на то, что возведение в квадрат, вообще говоря, не равносильное преобразование, и при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни. Если корни получились целые, то несложно произвести проверку. Но в некоторых случаях производить проверку неудобно. Тогда используют сведение данного уравнения к равносильной системе:

.

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34.gif" width="107" height="27 src="> является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51">

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни бы­ло ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо из­вестно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при реше­нии этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомним, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой об­ластью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью опреде­ления множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разум­ная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исход­ный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1 , и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3 , и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1 , и подходит только 1 .

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анали­зом самого выражения.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2 . Тогда в неравенство подставим 2 .

6) Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

Из ОДЗ имеем:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,. Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения равна 0 , т. е. при х=1 . После подстановки этого значения х убеждаемся, что решений нет.

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2 . При этом . Значит, исходное ра­венство невозможно и решений нет.

А теперь приведём пример, который был предложен учителем на уроке алгебры. Решить его сразу нам не удалось, но когда мы нашли ОДЗ, всё стало ясно.

Найдите целочисленный корень уравнения https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77">

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5 . Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахож­дения ОДЗ.

1.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выраже­ния большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицатель­ной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем са­мым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому выберем только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносиль­ные преобразования при переходе от одного уравнения (нера­венства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х , при которых х2=1 , мы не можем получить х=0 .

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положи­тельному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же сооб­ражениям, что и в предыдущем примере.

4.

ОДЗ не нуж­на, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функ­ции, а потому не может быть отрицательным.

5.

6. . ОДЗ не нужна, так как выражение всегда положительно.

7. Для решения до­статочно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. .gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равно­сильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функ­ций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, рав­носильное данному, в таком виде . Полученный ре­зультат надо проверить по ОДЗ.

2. ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда , исключается.

В целом эффективность способа равносильных преобразова­ний вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поисков ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научиться им пользоваться? Но это не совсем так. Тому несколько причин. Теорем о равносиль­ных преобразованиях довольно много, они непросты для запоми­нания, и уверенное владение ими – дело не простое. Часто, пользуясь равносильными преобразованиями, начинаешь ставить этот знак при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. Теоремы же эти быстро забываются.

Еще одна сложность - при записи равносильности мо­жно забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. Вот два таких примера:

1. Переход в общем виде выглядит так:

В данном примере выражение под знаком логарифма, стоящего справа, всегда положительно. Поэтому применительно к этому примеру та часть условий равносильности, которая записана в ви­де совокупности, ничего не добавляет. Но дав такое решение, можно просто забыть об этой совокупности.

Возможны два случая: 0<<1 и >1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.

Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:

Или

И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совер­шаются какие-то преобразования самого уравнения, но не исполь­зуется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида были приведены в работе. Рассмотрим еще примеры.

1. Такое решение естественно. В ле­вой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению . В результате получим уравнение . Оно равносильно такой системе

Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при кото­рых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27">.gif" width="147" height="24">добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции . Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:

1. Выпускники правильно находят ОДЗ, решая систему неравенств:

откуда x . Далее, умножая обе части неравенства на общий знаменатель, получают неравенство: lg(23 - 10x

2..gif" width="124" height="29">. Далее они получают x – 10 +; . Решая это уравнение и учитывая условие , выпускники делают вывод – уравнение не имеет решений.

3. Сдающие верно преобразовывают уравнение к виду

и рассматривают два случая: x 10 и x < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Заключение

В данной работе мы постарались исследовать явление существования области допустимых значений при решении уравнений и неравенств разных типов, проанализировали данную ситуацию, сделали логически корректные выводы в примерах, где нужно учитывать область допустимых значений. Для меня тема «Область допустимых значений» казалась очень сложной и непонятной, да и в школьных учебниках этой теме не отводится должного места, она практически не освещена, хотя в заданиях ЕГЭ присутствуют задачи на решение уравнений и неравенств, в которых необходимо найти область допустимых значений. В процессе работы мы столкнулись с тем, что литературы по данной теме недостаточно для полного и систематического изучения. Мы думаем, что эта тема требует пристального внимания учёных-математиков и методистов.

Прорешав множество примеров из различных источников, мы можем подвести некоторый итог: уни­версального метода решения уравнений и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, думаешь: а какой способ решения выбрать, в частности, искать область допустимых значений или не надо? Мы считаем, что полученный опыт поможет решить эту дилемму. Школьники перестанут делать ошибки, научившись правильно использовать область допустимых значений. Получится ли у нас это, покажет время, точнее предстоящий ЕГЭ 2010.

Надеемся, что представленная работа будет интересна и полезна педагогам и учащимся, и ОДЗ перестанет быть «каким-то нехорошим ОДЗ» для школьников.

9. Литература

1. , и др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002.

2. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966.

3. Газета «Математика» №46,

4. Газета «Математика» №

5. Газета «Математика» №

6. «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.

7. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009.

8. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009.

9. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007.

10. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976.

11. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993.

12. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006.

13. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002.

14. Материалы сайтов http://www. ***** , http://www. ***** .

Интернет-портал Википедия http://ru. wikipedia. org/wiki/Числовая_функция (Дата просмотра 05.03.2010).

, «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976, с.64.

Вопрос школьника на Ответы@***** http://otvet. *****/question/8166619/ (Дата просмотра 22.03.2010)

Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования» http://www. ***** (Дата просмотра 17.12.2009)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Поздравляю вас, дорогие читатели!

Наконец-то мы дошли до решения тригонометрических уравнений. Сейчас мы решим несколько уравнений, которые похожи на задания ЕГЭ. Конечно, в реальном экзамене, задачи будут немного сложнее, но суть останется та же.

Для начала рассмотрим легкое уравнение (подобные мы уже решали в прошлых уроках, но повторить всегда полезно).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt{3}) = 0.$$

Думаю, объяснения, как решать, излишни.

$$2\cos x + 1 = 0 \text{ или } 2\sin x - \sqrt{3} =0,$$

$$\cos x = -\frac{1}{2} \text{ или } \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},$$

Горизонтальным пунктиром отмечено решение для уравнения с синусом , вертикальным - с косинусом.

Таким образом, итоговое решение можно записать, например, так:

$$\left[ \begin{array}{l}x= \pm \frac{2\pi}{3},\\x = \frac{\pi}{3}+2\pi k. \end{array}\right.$$

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

$$(1+\cos x)\left(\frac{1}{\sin x} - 1\right) = 0.$$

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус. Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что `x` не может принимать такие значения.

Решение

Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю.

$$(1+\cos x)\left(\frac{1-\sin x}{\sin x}\right) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \text{ или } \frac{1-\sin x}{\sin x} = 0,$$

$$\cos x = -1 \text{ или } \sin x=1.$$

Надеюсь, решение этих уравнений не вызовет затруднений.

Серии корней - решений уравнения - показаны ниже красными точками. ОДЗ отмечена на рисунке синим.

Таким образом, понимаем, что решение уравнения `\cos x = -1` не удовлетворяет ОДЗ.
В ответ пойдет только серия корней `x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k`.

Решение квадратного тригонометрического уравнения

Следующий пункт нашей программы - решение квадратного уравнения . Ничего сложного собой не представляет. Главное - увидеть квадратное уравнение и выполнить замену как будет показано ниже.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

Пусть `t= \sin x`, тогда получим:

$$3t^2 + t-2=0.$$

$$t_1 = \frac{2}{3}, t_2 = -1.$$

Выполним обратную замену.

$$\sin x = \frac{2}{3} \text{ или } \sin x = -1.$$

$$\left[\begin{array}{l}x = \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k, \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k. \end{array} \right.$$

Решение квадратного уравнения с тангенсом

Решим следующее уравнение:

$$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}{\tg}^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

Обратим внимание, что аргумент у тангенса равен `2x` и чтобы получить окончательный ответ, нужно будет поделить на `2`. Пусть `t=\tg 2x`, тогда

$$t^2 - 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

Обратная замена.

$$\tg x = 5, \tg x = 1.$$

$$\left[\begin{array}{l}2x = \arctan{5}+\pi k, \\ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k. \end{array} \right.$$

Теперь поделим обе серии на два, чтобы узнать, чему равен, собственно, `x`.

$$\left[\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\arctan{5}+\frac{\pi k}{2}, \\ 2x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}. \end{array} \right.$$

Вот мы и получили ответ.

Последнее уравнение (произведение тангенса на синус)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ОДЗ

Поскольку тангенс - это дробь, знаменателем которой является косинус, то в ОДЗ получим, что `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k.`

Решение

$$\tg x =0 \text{ или } \sin 2x = 0.$$

Эти уравнения решаются легко. Получим:

$$x = \pi k \text{ или } 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k \text{ или } x = \frac{\pi k}{2}.$$

Теперь самое интересное: поскольку у нас было ОДЗ, нужно выполнить отбор корней. Отметим полученные серии корней на круге. (Как это сделать, детально показано в приложенном видео.)

Синим отмечено ОДЗ, красным - решения. Видно, что ответ будет `x = \pi k`.

На этом пятый урок закончен. Обязательно практикуйтесь в решении уравнений. Одно дело в знать ход решения в общих чертах, другое дело - сориентироваться, при решении конкретной задачи. Постепенно отрабатывайте каждый элемент решения задачи. Сейчас главное - научиться грамотно работать с тригонометрическим кругом, находить с его помощью решения, видеть ОДЗ и правильно делать замены для квадратных уравнений.

Задачи для тренировки

Решите уравнения:

• `2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0`,
• `3 {\tg}^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (применить основное тригонометрическое тождество),
• `4\sin^2 \left(x-\frac{\pi}{3} \right) - 3 =0`.

На этом хватит. Будут вопросы - спрашивайте! Оставляйте лайки, если мой труд оказался полезен:)

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем... Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле - решать...) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят - это полноценные, правильные решения. Те что не входят - безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем , и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Что делать с ОДЗ?

Итак, ОДЗ записали. Половина дела - сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты.

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили.

Решив само уравнение и получив ответы х 1 = 3; х 2 = -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х 1 = 3. Корень х 2 = -1 меньше, чем корень из трёх, он - посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё.

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того... не очень? Как быть?! Как быть, как быть... Научиться! Но если уж совсем прижало... Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Для х 1 = 3:

Просто считаем, получаем:

Всё отлично. Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ.

Подставляем второй корень х 2 = -1:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения... Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да...

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ - не вспомнили (или вообще не знали...), а получили-таки правильный ответ. Значит - повезло. Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать...)

А теперь - внимание!

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Ключевое слово здесь - "независимо" . Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)

Подведём итоги в практических советах.

Практические советы:

1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

log 2 (х 2 +5х-6) = log 2 (4х)

ln(х 3 -7х+2sinx+3) = ln(х 3 -7х+2sinx-4)

Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5.

Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно - можно заняться заданиями посложнее.

Если не получилось, или решалось долго - посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан.

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да...)

А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием "Сужение ОДЗ" - всё это будет в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Шамшурин А.В. 1

Гагарина Н.А. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.

Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Задачи:

1. Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
2. Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.

Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

Глава 1

Что такое ОДЗ?

ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.

Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…

• Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
• Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.

Алгоритм нахождения ОДЗ:

1. Определите вид запрета.
2. Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
3. Исключить эти значения из множества действительных чисел R.

Решить уравнение: =

Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.

Дополнительные уравнения:

а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2

Глава 2

ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

Область допустимых значений - есть решение

1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений

• = ОДЗ:

Ответ: корней нет.

• = ОДЗ:

Ответ: корней нет.

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.

1. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

ОДЗ: х=2, х=3

Проверка: х=2, + , 0<1, верно

Проверка: х=3, + , 0<1, верно.

Ответ: х=2, х=3.

• > ОДЗ: х=1,х=0

Проверка: х=0, > , 0>0, неверно

Проверка: х=1, > , 1>0, верно

Ответ: х=1.

• + =х ОДЗ: х=3

Проверка: + =3, 0=3, неверно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) = ; б) + =0; в) + =х -1

Опасность ОДЗ

Заметим, тождественные преобразования могут:

• не влиять на ОДЗ;
• приводить к расширенному ОДЗ;
• приводить к сужению ОДЗ.

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.

Давайте поясним каждый случай примером.

1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg

Приложение 1

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Приложение 2

Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»